Un poquito de álgebra lineal

Comenzamos con una definición tranquilita:

Un operador normal $A$ es un operador lineal que satisface que $AA^{\dagger}=A^{\dagger}A$.

Esto básicamente lo que nos está diciendo es que el operador $A$ conmuta con su adjunto $A^{\dagger}$. Ahora, si recordamos qué son los operadores unitarios y hermitianos, sabemos que son normales, pues un operador unitario es un operador $U$ tal que $U^{\dagger}=U^{-1}$. Entonces $UU^{\dagger}=UU^{-1}=U^{\dagger}U$. Un operador hermitiano es uno tal que $T^{\dagger}=T$, entonces $TT^{\dagger}=T^{\dagger}T$.

Por lo que podemos decir que la mayoría de operadores que nos importan en la física y computación cuántica son normales.

Ahora sí, a lo bueno.

Teorema Espectral

Para todo operador normal $T$ en un espacio de de Hilbert $\mathcal{H}$ de dimensión finita, existe una base ortonormal de $\mathcal{H}$ de eigenvectores $\ket{T_{i}}$ de $T$.

Lo que nos dice este teorema es que siempre podemos diagonalizar un operador normal. Por lo que se puede escribir el teorema también de la siguiente forma.

Teorema Espectral

Para toda matriz normal de dimensión finita $T$, existe una matriz unitaria $P$, tal que $T=P\Lambda P^{\dagger}$, donde $\Lambda$ es una matriz diagonal.

La razón por la cual el teorema espectral será muy importante es porque nos va a permitir simplificar las expresiones por funciones de operadores.

Si $(\{| T_i \rangle\}$ son los vectores propios ortonormales de $T$ con los valores propios correspondientes $\{T_i\}$, entonces $T$ se puede expresar como:

$$T = \sum_i T_i | T_i \rangle \langle T_i |$$

Aquí recordamos que el proyector es idempotente, por lo que

$$(\ket{T_{i}}\bra{T_{i}})^{m} = \ket{T_{i}}\bra{T_{i}}$$

para cualquier entero $m$.

Además, como los eigenvectores son ortonormales, entonces

$$\langle T_{i} | T_{j} \rangle = \delta_{ij}$$

Por lo tanto, si queremos hacer $T^{m}$, sería

$$(\sum_i T_i | T_i \rangle \langle T_i |)^{m}= \sum_i T_i^{m} | T_i \rangle \langle T_i |$$

Lo que nos interesaría ahora, sería definir la acción de una función $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ en un operador sobre un espacio de Hilbert.

Para una función analítica $f(x)$ de variable compleja $x$, podemos escribir su expansión en serie de Taylor alrededor de un punto (típicamente $z = 0$):

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$$

Ahora, tal vez no valga la pena entrar tanto en detalle aquí, pero pensando en lo anterior, entonces podemos definir:

$$f(T) =\sum_{n}a_{n}T^{n}$$

Sustituyendo $T^n$ en la serie de $f(T)$:

$$f(T) = \sum_{n} a_{n} T^{n} = \sum_{n} a_{n} \left(\sum_i T_i^n | T_i \rangle \langle T_i |\right)$$

Podemos reordenar las sumas ya que son sumas infinitas convergentes (si la serie de Taylor converge correctamente):

$$f(T) = \sum_{n} \sum_i a_{n} T_i^n | T_i \rangle \langle T_i |$$ $$f(T) = \sum_i \left(\sum_{n} a_{n} T_i^n \right) | T_i \rangle \langle T_i |$$

Observamos que $\sum_{n} a_{n} T_i^n$ es la serie de Taylor de $f(x)$ evaluada en $T_i$:

$$\sum_{n} a_{n} T_i^n = f(T_i)$$

Por lo tanto,

$$f(T) = \sum_i f(T_i) | T_i \rangle \langle T_i |$$

Esto nos dice cómo la función $f$ actúa sobre el operador $T$ aplicándose a cada uno de sus valores propios $T_i$. Por lo que, cuando $T$ está en su forma diagonal, $f(T)$ simplemente se hace aplicando $f$ en las entradas diagonales de $T$.

Por lo tanto, cuando queremos calcular una función $f$ de un operador $T$, lo primero que hay que hacer es diagonalizar $T$, y que podamos diagonalizar $T$ con tranquilidad, para casi todos los operadores que nos van a importar, nos lo garantiza el teorema espectral.

Productos tensoriales

Un producto tensorial es simplemente una forma de combinar espacios, vectores, operadores.

Supongamos $\mathcal{H_{1}}$ y $\mathcal{H_{2}}$ son espacios de Hilbert de $n$ y $m$ dimensiones. Entonces $\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}$ es un espacio nuevo, más grande de $n\times m$ dimensión.

Ahora supongamos que $\{\ket{b_{i}}\}_{i \in \{1,\dots,n\}}$ es una base ortonormal de $\mathcal{H_{1}}$ y que $\{\ket{c_{j}}\}_{j \in \{1,\dots,m\}}$ es una base ortonormal de $\mathcal{H_{2}}$. Entonces

$$\{\ket{b_{i}}\otimes\ket{c_{j}}\}_{ i \in \{1,\dots,n\}, j \in \{1,\dots,m\} }$$

es una base ortonormal para el espacio creado por $\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}$.

Además, el producto tensorial de dos vectores $\ket{\psi_{1}}$ y $\ket{\psi_{2}}$ de $\mathcal{H_{1}}$ y $\mathcal{H_{2}}$ respectivamente, es un vector de $\mathcal{H_{1}}\otimes \mathcal{H_{2}}$.

Siguiendo el mismo procedimiento, ahora consideremos los operadores $A$ y $B$ actuando sobre los espacios de Hilbert $\mathcal{H_{1}}$ y$\mathcal{H_{2}}$, respectivamente.

Supongamos que $A: \mathcal{H_{1}} \to \mathcal{H_{1}}$ es un operador lineal en $\mathcal{H_{1}}$ y $B: \mathcal{H_{2}} \to \mathcal{H_{2}}$ es un operador lineal en $\mathcal{H_{2}}$. Entonces, podemos definir un operador en el espacio tensorial $\mathcal{H_{1}} \otimes \mathcal{H_{2}}$ a través del producto tensorial de $A$ y $B$.

El operador $A \otimes B: \mathcal{H_{1}} \otimes \mathcal{H_{2}} \to \mathcal{H_{1}} \otimes \mathcal{H_{2}}$ se define de manera que actúa sobre un vector $\ket{\psi_{1}} \otimes \ket{\psi_{2}} \in \mathcal{H_{1}} \otimes \mathcal{H_{2}}$ como:

$$(A \otimes B)(\ket{\psi_{1}} \otimes \ket{\psi_{2}}) = (A\ket{\psi_{1}}) \otimes (B\ket{\psi_{2}}).$$

Además, si $A$ y $B$ son matrices representando operadores en $\mathcal{H_{1}}$ y $\mathcal{H_{2}}$, respectivamente, ya se había mencionado en una entrada anterior que la representación matricial de $A \otimes B$ en la base ortonormal de $\mathcal{H_{1}} \otimes \mathcal{H_{2}}$ es el producto de Kronecker de las matrices de $A$ y $B$.

Una cosa importante que decir sobre la notación es que regularmente, en lugar de escribir $\ket{\psi}\otimes \ket{\varphi}$, se escribe simplemente como $\ket{\psi}\ket{\varphi}$, o a veces, simplemente $\ket{\psi\varphi}$.

Teorema de descomposición de Schmidt

Si $\ket{\psi}$ es un vector en el espacio del producto tensorial $\mathcal{H_{A}}\otimes \mathcal{H_{B}}$, entonces existe una base ortonormal $\{\ket{\varphi_{i}^{A}}\}$ de $\mathcal{H_{A}}$, y una base ortonormal $\{\ket{\varphi_{i}^{B}}\}$ de $\mathcal{H_{B}}$, y reales no negativos $\{p_{i}\}$ tal que

$$\ket{\psi} = \sum_{i}\sqrt{ p_{i} }\ket{\varphi_{i}^{A}}\ket{\varphi_{i}^{B}}.$$

Lo que nos está diciendo este teorema es que si tenemos un estado cuántico $\ket{\psi}$ en el espacio de producto tensorial $\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$, podemos escribir este estado en una forma especial donde solo hay términos "puros" o "directos".

Los coeficientes de Schmidt $\sqrt{p_{i}}$ cuantifican cuánto contribuye cada par de vectores $\ket{\varphi_i^A}$ y $\ket{\varphi_i^B}$ al estado total.