Planteando el problema de dos cuerpos

Supongamos la fuerza central f(r)r^\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}}.

Por el esquema planteado, tenemos que:

r⃗=r⃗1−r⃗2 \vec{\boldsymbol{r}} = \vec{\boldsymbol{r}}_{1} - \vec{\boldsymbol{r}}_{2}

Entonces

r=∣r⃗∣=∣r⃗1−r⃗2∣ \begin{aligned} r &= |\vec{\boldsymbol{r}}| \\ &= |\vec{\boldsymbol{r}}_{1} - \vec{\boldsymbol{r}}_{2}| \end{aligned}

Por la segunda ley de Newton, sabemos que mr¨=Fm \ddot{r} = F, entonces:

m1r¨1=f(r)r^m2r¨2=−f(r)r^(por la tercera ley) \begin{aligned} m_{1} \ddot{\boldsymbol{r}}_{1} &= \boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}} \\ m_{2} \ddot{\boldsymbol{r}}_{2} &= -\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}} \quad\text{(por la tercera ley)} \end{aligned}

Por cómo definimos r⃗\vec{\boldsymbol{r}}, observamos que si f(r)>0\boldsymbol{f}(r) > 0 entonces hay repulsión, y si f(r)<0\boldsymbol{f}(r)<0 entonces los cuerpos se atraen.

Dividiendo por m1m_{1} y por m2m_{2} respectivamente, las ecuaciones anteriores quedan así:

r¨1=f(r)m1r^r¨2=−f(r)m2r^ \begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}}_{1}&=\frac{\boldsymbol{f}(r)}{m_{1}}\hat{\boldsymbol{r}} \\ \ddot{\boldsymbol{r}}_{2}&=-\frac{\boldsymbol{f}(r)}{m_{2}}\hat{\boldsymbol{r}} \end{aligned}

Entonces:

r¨1−r¨2=f(r)m1r^+f(r)m2r^=(1m1+1m2)f(r)r^ \ddot{\boldsymbol{r}}_{1}-\ddot{\boldsymbol{r}}_{2}= \frac{\boldsymbol{f}(r)}{m_{1}}\hat{\boldsymbol{r}} + \frac{\boldsymbol{f}(r)}{m_{2}}\hat{\boldsymbol{r}} = \left( \frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}\right)\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}} ∴m1m2m1+m2(r¨1−r¨2)=f(r)r^ \therefore \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(\ddot{\boldsymbol{r}}_{1}-\ddot{\boldsymbol{r}}_{2})=\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}}

Haciendo μ=m1m2m1+m2\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, tal que sea la masa reducida, entonces tenemos simplemente que:

μr¨=f(r)r^ \mu \ddot{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}}

Recordando rápidamente las coordenadas polares, tenemos que:

r^=cos⁡θi^+sin⁡θj^θ^=−sin⁡θi^+cos⁡θj^ \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{r}} &= \cos\theta\hat{\boldsymbol{i}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{j}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} &= -\sin \theta \hat{\boldsymbol{i}} + \cos \theta \hat{\boldsymbol{j}} \end{aligned}

Sabemos que r=rr^\boldsymbol{r}=r\hat{\boldsymbol{r}}, entonces:

r˙=ddt(rr^)=r˙r^+rdr^dt=r˙r^+rddt(cos⁡θi^+sin⁡θj^)=r˙r^+r(−sin⁡θθ˙i^+cos⁡θθ˙j^)=r˙r^+rθ˙θ^ \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{r}} = \frac{d}{dt}(r\hat{\boldsymbol{r}}) &= \dot{r}\hat{\boldsymbol{r}} + r \frac{d\hat{\boldsymbol{r}}}{dt} \\ &=\dot{r}\hat{\boldsymbol{r}} + r \frac{d}{dt}(\cos\theta\hat{\boldsymbol{i}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{j}}) \\ &=\dot{r}\hat{\boldsymbol{r}} + r(-\sin \theta\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{i}}+\cos \theta \dot{\theta}\hat{\boldsymbol{j}}) \\ &=\dot{r}\hat{\boldsymbol{r}}+ r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}} \end{aligned}

Entonces

r¨=ddt(r˙r^+rθ˙θ^)=(r¨−rθ˙2)r^+(rθ¨+2r˙θ˙)θ^ \begin{aligned} \ddot{\boldsymbol{r}} &= \frac{d}{dt}(\dot{r}\hat{\boldsymbol{r}}+ r \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\ &=(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2})\hat{\boldsymbol{r}} + (r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{aligned}

Tenemos una componente radial y una tangencial, y como la fuerza sólo depende de rr, pues f(r)r^\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}}, entonces tenemos que μr¨=f(r)r^\mu \ddot{r}=\boldsymbol{f}(r)\hat{\boldsymbol{r}} se convierte en:

μ(r¨−rθ˙2)=f(r)μ(rθ¨+2r˙θ˙)=0 \begin{aligned} \mu(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}) &= \boldsymbol{f}(r) \\ \mu(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}) &= 0 \end{aligned}

Ahora, para saber cómo es nuestra f(r)\boldsymbol{f}(r), recordemos que por Newton, sabemos que la fuerza de atracción gravitacional está dada por:

F1=Gm1m2r1,22r^1,2 \boldsymbol{F}_{1}=G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{1,2}^{2}}\hat{\boldsymbol{r}}_{1,2}

Donde F1\boldsymbol{F}_{1} es la fuerza sobre m1m_{1} debido a m2m_{2}, entonces, como F1=m1r¨1\boldsymbol{F}_{1}=m_{1}\ddot{\boldsymbol{r}}_{1} tenemos que r¨1=F1m1=−Gm2r1,22r^1,2\ddot{\boldsymbol{r}}_{1}=\frac{\boldsymbol{F}_{1}}{m_{1}}=-G \frac{m_{2}}{r_{1,2}^{2}}\hat{\boldsymbol{r}}_{1,2}. Por lo tanto, tendríamos que

r¨1−r¨2=−Gm2r2r^+Gm1r2r^=−Gm1m2r2r^=−βr2r^ \ddot{\boldsymbol{r}}_{1} -\ddot{\boldsymbol{r}}_{2}= -G \frac{m_{2}}{r^{2}}\hat{\boldsymbol{r}}+G \frac{m_{1}}{r^{2}}\hat{\boldsymbol{r}} = -G \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\hat{\boldsymbol{r}} = - \frac{\beta}{r^{2}}\hat{\boldsymbol{r}}

En donde hicimos que β=G(m1+m2)\beta=G(m_{1}+m_{2}).

Por lo que, continuando, tendríamos que: μr¨=μ(r¨1−r¨2)=μ(−βr2)r^=f(r)\mu \ddot{\boldsymbol{r}}=\mu(\ddot{\boldsymbol{r}}_{1}-\ddot{\boldsymbol{r}}_{2})=\mu\left( -\frac{\beta}{r^{2}} \right)\hat{\boldsymbol{r}}=\boldsymbol{f}(r). Por lo tanto:

μ(r¨−rθ˙2)=μ(−βr2)μ(rθ¨+2r˙θ˙)=0 \begin{aligned} \mu(\ddot{r}-r \dot{\theta}^{2}) &= \mu\left( -\frac{\beta}{r^{2}} \right) \\ \mu(r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta}) &= 0 \end{aligned}