ecuaciones de hamilton

De la entrada anterior podemos rescatar tres resultados importantes

H(qi,pi,t)=∑i=1n∂L∂q˙iq˙i−L\mathcal{H}(q_i, p_i, t) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \dot{q}_i - \mathcal{L}
Pi=∂L∂q˙iP_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}
−∂L∂t=dHdt-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} = \frac{d\mathcal{H}}{dt}

Ahora, lo primero que vamos a hacer es calcular a pata el diferencial de H\mathcal{H}.

dH=∂H∂q1dq1+∂H∂q2dq2+...+∂H∂P1dP1+∂H∂P2dP2+...+∂H∂tdtd\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_1} dq_1 + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_2} dq_2 + ... + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_1} dP_1 + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_2} dP_2 + ... + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} dt =∑j=1n(∂H∂qjdqj+∂H∂PjdPj)+∂H∂tdt= \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} dq_j + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_j} dP_j \right) + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} dt

Ahora si diferenciamos la expresión que ya conocemos de H\mathcal{H} tendríamos

H=∑j=1nPjq˙j−L(q,q˙,t)H = \sum_{j=1}^{n} P_j \dot{q}_j - L(q, \dot{q}, t) dH=∑j=1n∂(Pjq˙j)∂PjdPj+∂(Pjq˙j)∂q˙jdq˙j−dLd\mathcal{H} = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial (P_j \dot{q}_j)}{\partial P_j} dP_j + \frac{\partial (P_j \dot{q}_j)}{\partial \dot{q}_j} d\dot{q}_j - d\mathcal{L} =∑j=1n[q˙jdPj+Pjdq˙j]−dL= \sum_{j=1}^{n} \left[ \dot{q}_j dP_j + P_j d\dot{q}_j \right] - d\mathcal{L} dL=∑j=1n[∂L∂qjdqj+∂L∂q˙jdq˙j]+∂L∂tdtd\mathcal{L} = \sum_{j=1}^{n} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} dq_j + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} d\dot{q}_j \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt =∑j=1n[q˙jdPj+Pjdq˙j]−[∑j=1n[∂L∂qjdqj+∂L∂q˙jdq˙j]+∂L∂tdt]= \sum_{j=1}^{n} \left[ \dot{q}_j dP_j + P_j d\dot{q}_j \right] - \left[ \sum_{j=1}^{n} \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} dq_j + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} d\dot{q}_j \right] + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt \right] =∑j=1n[q˙jdPj+Pjdq˙j−∂L∂qjdqj−∂L∂q˙jdq˙j]−∂L∂tdt= \sum_{j=1}^{n} \left[ \dot{q}_j dP_j + P_j d\dot{q}_j - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} dq_j - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} d\dot{q}_j \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt

Recordamos que:

ddt(∂L∂q˙j)=∂L∂qj\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_j} \right) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} P˙j=∂L∂qj\dot{P}_j = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} =∑j=1n[q˙jdPj+Pjdq˙j−P˙jdqj−Pjdq˙j]−∂L∂tdt= \sum_{j=1}^{n} \left[ \dot{q}_j dP_j + P_j d\dot{q}_j - \dot{P}_j dq_j - P_j d\dot{q}_j \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt dH=∑j=1n[q˙jdPj−P˙jdqj]−∂L∂tdtd \mathcal{H}= \sum_{j=1}^{n} \left[ \dot{q}_j dP_j - \dot{P}_j dq_j \right] - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} dt

Si recordamos que:

dH=∑j=1n(∂H∂qjdqj+∂H∂PjdPj)+∂H∂tdtd \mathcal{H}= \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} dq_j + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_j} dP_j \right) + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} dt

entonces:

−∂H∂qj=P˙j,∂H∂Pj=q˙j-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_j} = \dot{P}_j, \quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_j} = \dot{q}_j

pero entonces también

∂H∂t=−∂L∂t \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}

y en la entrada anterior habíamos llegado a que

−∂L∂t=dHdt-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} = \frac{d\mathcal{H}}{dt}

por lo tanto

∂H∂t=dHdt. \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} = \frac{d \mathcal{H}}{dt}.

Esta simple ecuación es una gran sentencia: si el Hamiltoniano H\mathcal{H} no tiene al tiempo t metido explícitamente, entonces, su derivada total respecto al tiempo es CERO.

Lo divertido es que podemos ver lo anterior con una simple mirada a su estructura. Si la tt no figura explícitamente, H es una constante del movimiento. No hay más que buscar.