series de lie

En la entrada anterior hablamos de tres resultados importantes

$$\frac{df}{dt} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t}$$

$$\{q_i, q_j\} = 0, \quad \{p_i, p_j\} = 0, \quad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}$$

• Las transformaciones canónicas como aquellas que preservan estos corchetes fundamentales.

Lo interesante aquí es que la ecuación de evolución temporal $\frac{df}{dt} = \{f, H\}$ (ignorando la dependencia explícita en $t$ por ahora) sugiere que el Hamiltoniano $H$ "genera" cambios infinitesimales en $f$ a través del corchete de Poisson.

¿Cómo que "generación"? ¿Podemos usar otras funciones, además de $H$, para generar transformaciones?

Consideremos una función cualquiera $g(q, p)$ definida en el espacio de fases. Podemos asociarle un operador $\mathcal{L}_g$, que llamaremos el operador de Lie, que actúa sobre otras funciones $f(q, p)$ del espacio de fases tal que

$$\mathcal{L}_g f \equiv \{f, g\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i} \right)$$

El operador $\mathcal{L}_g$ representa la derivada infinitesimal de $f$ a lo largo del "flujo" generado por $g$. Si pensamos en $g$ como un "pseudo-Hamiltoniano", $\mathcal{L}_g f$ nos dice cómo cambiaría $f$ instantáneamente si el sistema evolucionara según las ecuaciones de Hamilton pero con $g$ en lugar de $H$.

Una vez que tenemos el operador $\mathcal{L}_g$, podemos aplicarlo repetidamente:

• $\mathcal{L}_g^0 f = f$

• $\mathcal{L}_g^1 f = \mathcal{L}_g f = \{f, g\}$

• $\mathcal{L}_g^2 f = \mathcal{L}_g (\mathcal{L}_g f) = \{\{f, g\}, g\}$

• $\mathcal{L}_g^n f = \mathcal{L}_g (\mathcal{L}_g^{n-1} f) = \underbrace{\{\dots\{\{f, g\}, g\}, \dots\}, g\}}_{n \text{ veces}}$

Ahora, de forma análoga a la serie de Taylor $e^x = \sum x^n/n!$, podemos definir formalmente la exponencial del operador de Lie, $\exp(\epsilon \mathcal{L}_g)$, actuando sobre una función $f$. Esta es la Serie de Lie generada por $g$:

$$e^{\epsilon \mathcal{L}_g} f \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\epsilon^n}{n!} \mathcal{L}_g^n f = f + \epsilon \{f, g\} + \frac{\epsilon^2}{2!} \{\{f, g\}, g\} + \frac{\epsilon^3}{3!} \{\{\{f, g\}, g\}, g\} + \dots$$

Si consideramos el caso especial donde el generador es el Hamiltoniano, $g = H$, y el parámetro es el tiempo, $\epsilon = t$. Supongamos que ni $f$ ni $H$ dependen explícitamente del tiempo ($\partial f/\partial t = 0, \partial H/\partial t = 0$). Entonces la ecuación de evolución es:

$$\frac{df}{dt} = \{f, H\} = \mathcal{L}_H f$$

Si pensamos en $f(t) = f(q(t), p(t))$ como la función evaluada a lo largo de la trayectoria, podemos calcular sus derivadas superiores:

$$\frac{d^2 f}{dt^2} = \frac{d}{dt} (\mathcal{L}_H f) = \{\mathcal{L}_H f, H\} = \mathcal{L}_H (\mathcal{L}_H f) = \mathcal{L}_H^2 f$$ $$\frac{d^n f}{dt^n} = \mathcal{L}_H^n f$$

Ahora, si hacemos una expansión de Taylor de $f(t)$ alrededor de $t=0$:

$$f(t) = f(0) + t \left.\frac{df}{dt}\right|_{t=0} + \frac{t^2}{2!} \left.\frac{d^2f}{dt^2}\right|_{t=0} + \dots$$ $$f(t) = f(0) + t (\mathcal{L}_H f)|_{t=0} + \frac{t^2}{2!} (\mathcal{L}_H^2 f)|_{t=0} + \dots$$ $$f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} (\mathcal{L}_H^n f)|_{t=0} = \left( e^{t \mathcal{L}_H} f \right)|_{t=0}$$

Esto ya está muy divertido, porque entonces la Serie de Lie generada por el Hamiltoniano $H$ propaga formalmente cualquier observable $f$ (que no dependa explícitamente de $t$) desde el tiempo $t=0$ hasta el tiempo $t$.

$$\boxed{ f(q(t), p(t)) = e^{t \mathcal{L}_H} f(q(0), p(0)) }$$

La evolución temporal Hamiltoniana es la aplicación de una Serie de Lie generada por $H$.

Por lo tanto, como ejemplo final, calculemos la trayectoria del oscilador armónico usando una serie de Lie, un buen ejemplo de matar una mosca a cañonazos.

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El Hamiltoniano del oscilador armónico es

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k q^2$$

si definimos $\omega = \sqrt{k/m}$, entonces $k = m\omega^2$. El Hamiltoniano es

$$\boxed{ H(q, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2 }$$

Encontremos $q(t)$ usando la Serie de Lie, vimos que

$$f(t) = e^{t \mathcal{L}_H} f(0) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \mathcal{L}_H^n f(0)$$

donde $\mathcal{L}_H f = \{f, H\}$.

$$\mathcal{L}_H q = \{q, H\} = \frac{\partial q}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial q}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}$$ $$= 1 \cdot \left(\frac{p}{m}\right) - 0 \cdot (m\omega^2 q) = \frac{p}{m}$$

Calculamos $\mathcal{L}_H^2 f = \{\mathcal{L}_H f, H\}$:

$$\mathcal{L}_H^2 q = \{\mathcal{L}_H q, H\} = \{\frac{p}{m}, H\} = \frac{1}{m} \{p, H\}$$

Usando $\{p, H\} = -m\omega^2 q$:

$$\mathcal{L}_H^2 q = \frac{1}{m} (-m\omega^2 q) = -\omega^2 q$$

Calculamos $\mathcal{L}_H^3 f = \{\mathcal{L}_H^2 f, H\}$:

$$\mathcal{L}_H^3 q = \{\mathcal{L}_H^2 q, H\} = \{-\omega^2 q, H\} = -\omega^2 \{q, H\}$$ $$= -\omega^2 \left(\frac{p}{m}\right) = -\frac{\omega^2 p}{m}$$

Calculamos $\mathcal{L}_H^4 f = \{\mathcal{L}_H^3 f, H\}$:

$$\mathcal{L}_H^4 q = \{\mathcal{L}_H^3 q, H\} = \{-\frac{\omega^2 p}{m}, H\} = -\frac{\omega^2}{m} \{p, H\}$$ $$= -\frac{\omega^2}{m} (-m\omega^2 q) = \omega^4 q$$

Podemos ver que

• $\mathcal{L}_H^{2k} q = (-1)^k \omega^{2k} q$

• $\mathcal{L}_H^{2k+1} q = (-1)^k \omega^{2k} (p/m)$

Construimos las Series de Lie evaluadas en $t=0$: Sea $q(0) = q_0$

$$q(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \mathcal{L}_H^n q_0$$ $$q(t) = q_0 \left(1 - \frac{(\omega t)^2}{2!} + \frac{(\omega t)^4}{4!} - \dots \right) + \frac{p_0}{m} \left( t - \frac{\omega^2 t^3}{3!} + \frac{\omega^4 t^5}{5!} - \dots \right)$$

La primera serie es la serie de Taylor para $\cos(\omega t)$. La segunda, si factorizamos $\omega$ del tiempo, es $(1/\omega) \sin(\omega t)$.

$$q(t) = q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{m\omega} \left( (\omega t) - \frac{(\omega t)^3}{3!} + \frac{(\omega t)^5}{5!} - \dots \right)$$ $$\boxed{ q(t) = q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{m\omega} \sin(\omega t) }$$